Родился Сергей Чаплыгин на самом юге Рязанской губернии в г. Раненбурге 5 апреля 1869 г. Через несколько лет отец Сергея Чаплыгина внезапно умер от холеры, мать вышла второй раз замуж и они уехали жить в Воронеж. В 1877 г., восьми лет, Чаплыгин начал учиться в гимназии. Преподавателям скоро стало ясно, что мальчик обладет незаурядными способностями и редкой памятью. Ему одинаково легко давались древние и новые языки, история и другие предметы, но особенный интерес проявлял он к математике. В четырнадцать лет он сам стал учить детей, занимаясь репетиторством с детьми помещиков.

Весной 1886 г. Чаплыгин блестяще окончил воронежскую гимназию и подал заявление в Московский университет. В 1890 окончил физико-математический факультет Московского университета и по представлению Жуковского был оставлен там для подготовки к профессорскому званию. С 1893 преподавал физику в женском среднем учебном заведении, механику в Императорском техническом училище, Московском инженерном училище, Московском университете.

Чаплыгин Сергей Алексеевич - организатор и директор Московских высших женских курсов (1905-1918). Чаплыгиным написаны университетский курс аналитической механики «Механика системы» (ч. 1-2, 1905-07) и сокращенный «Преподавательский курс механики» для втузов и естественных факультетов университетов (1915). Первые труды Сергея Алексеевича, созданные под влиянием Жуковского, относятся к области гидромеханики. В работе «О некоторых случаях движения твёрдого тела в жидкости» (1894) и в магистерской диссертации «О некоторых случаях движения твёрдого тела в жидкости» (1897) он дал геометрическую интерпретацию законов движения твёрдых тел в жидкости.

За исследования по теории движения твёрдого тела в жидкости и по движению тел с неинтегрируемыми связями Чаплыгин получил в 1899 г. от Петербургской АН почётную золотую медаль. В конце 19 - начале 20 в.в. Сергей Алексеевич начинает заниматься струйными течениями. В 1902 г. представляет в Московский университет докторскую диссертацию «О газовых струях», в которой был дан метод исследования струйных течений газа при любых дозвуковых скоростях. В то время исследование газовых течений со скоростями, приближающимися к скорости звука, не было актуально для авиации.

Лишь через 30 лет работа Чаплыгина Сергея явилась основой для решения задач о звуковых течениях, а развитие созданных в ней методов привело к решению основных вопросов, связанных с работой крыла при больших дозвуковых скоростях. Вопросы аэродинамики стали центром его научной деятельности. В 1910 г. почти одновременно появились работы Чаплыгина «О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела» и Жуковского «О контурах поддерживающих поверхностей аэропланов», в которых впервые даются способы количественного определения циркуляции вокруг профиля. Это явилось необходимым дополнением к теореме Жуковского о подъёмной силе крылового профиля. В своей работе Сергей Алексеевич Чаплыгин применил выдвинутый им принцип схода струй с острой кромки крыла к определению течений около ряда конкретных профилей. В ней же содержатся формулы определения аэродинамической подъёмной силы и момента.

В 1914г. появилась фундаментальная работа Сергея Чаплыгина «Теория решётчатого крыла», в которой заложены основы теории обтекания решёток циркуляционным потоком, явившейся базой для расчёта винтов, турбин и других лопаточных машин. В последующих трудах Чаплыгин решил ряд сложных задач, связанных с определением точки приложения подъёмной силы, определением сил, действующих в неустановившемся полёте, теорией т.н. механизированного крыла, вопросами устойчивости крыла в полёте и т.д.

Большой вклад внёс Чаплыгин в математику. Его исследования по приближённому интегрированию дифференциальных уравнений принадлежат к крупным достижениям математической мысли. Идеи Чаплыгина оказались применимы не только для решения широких классов дифференциальных уравнений, но и при приближённом решении весьма общих классов функциональных уравнений.

После Октябрьской революции 1917 г. Сергей Чаплыгин активно продолжает вести научные исследования. С 1918 г. он участвует в работе Комиссии особых артиллерийских опытов при Главном артиллерийском управлении и в работе Научно-экспериментального института путей сообщения, а в конце 1918 г. привлекается Жуковским к организации ЦАГИ. В 1921-30г.г. Чаплыгин - председатель коллегии, в 1928-31 г.г. - директор-начальник ЦАГИ. В последующие годы Чаплыгин руководил созданием крупнейших аэродинамических лабораторий ЦАГИ (1931-41). Премия им. Н.Е.Жуковского (1925). Награждён 2 орденами Ленина, 2 орденами Трудового Красного Знамени. АН СССР учредила (1942) премию им С.А.Чаплыгина «За лучшую оригинальную работу по теоретическим исследованиям в области механики».

Город Раненбург бывшей Рязанской губернии, где родился С.А. Чаплыгин, переименован в г.Чаплыгин (Липецкая область). В Москве установлен бюст Чаплыгина (1960), а на территории ЦАГИ - памятник (1959). Его имя носят научно исследовательский институт авиации в Новосибирске, аэродинамическая лаборатория в ЦАГИ. В Москве действует мемориальный музей-квартира Сергея Чаплыгина. Его именем назван кратер на обратной стороне Луны.